学霸系科学家系统第7章 齐次平衡法(2/3)
r>“我首先说一下，齐次平衡法的作用。”
“齐次平衡法，是解决非线性发展方程的精确解，既在常微分方程的基础上对微分方程的另一种偏微分方程精确解的求法。”
“下面我详细的写出来齐次平衡法的推演步骤！”
他拿起笔在白板上写着。
卓越三人站起身到白板附近，认真的看他写的内容。
已知NLPDE，pu，u67，u66，u6767，u6766，u63，...=0
这里p是其变元多项式，其中包含ux，t的非线性项和它的最高阶导数项，函数φ=φx，t称为的拟解。
……
如果前三步的解答是肯定的，那么将结果代入经过一些计算，就得到的准确解。
他放下笔，看着卓越三人，道：“齐次平衡法有两种情形，一种平衡阶数为负数的情形，另一种是阶数为分数的情形。”
“首先我讲解一下平衡阶数为负数的情形。”
“当m，n中存在负数时不妨设其为负整数情形，我们可以假设m+n>0时
……
我们可以先对原方程做变换u=v^-1将原方程化为关于v的NLPDE。
这时，再利用齐次平衡方法解之。”
“下面，我用实例演算给你们看。”
ut=u056767+pu-u05.1
……
当c 68=1时，将导致负数解，这里略去。
“这就是阶数为负数的平衡法，有什么问题，我们之后再议。”
他看到三人欲言又止，就说道：“下面我说一下阶数为分数的情形。”
“若平衡阶数m，n中有分数不妨设其为正分数情形，我们可以先做变换v=au^1其中1为m的最简分式的分母与n的最简分式的分母的最小公倍数，a为任意常数。
也可直接假设。
这个公式比较复杂，我直接写下来吧！”
ux，t=f^m+nφ58xφ67t/φ586267-m+n+m+n-1∑t=1fm+n-t∑j=1Cm+n-tjφm-jxφn+j-1t/φm+n-m+n-t+Ca.1
写完后，他指着白板上的公式道：“其中x表示取x的整数部分，c0为任意常数。”
“下面我实例演示一下。”
ut+qu05ux+pu6767=0
其中p，q>0
……
得到的精确解为
ux，t=±√3pqk05/r2-pk05tanh05kx+2q/pk05-2t
他呼出一口气，道：“好了，这就是我说的齐次平衡法，你们有什么需要问的吗？”
“请问较低导数的非线性项式怎么转变为较高导数的线性项的，然后又怎么让各阶的系数为零的。”宗老师问道。
“是将.3代入.2，合并φ的各种偏导数同次齐次项，并令φ67xφ0155的系数为零，得
……
φx，t所满足的方程组.9--.10是有解的。”
“那怎么得到k，w的非线性代数方程组？”杨老师问道。
“令φx，t=1+expkx+wt代入.9--.10，得到关于k，w的非线性代数方程组。”
“原方程的准确孤立波解是什么？”卓越问道。
“我写出来给你看。”
ux，t=-6/tanh±√-p/3/4+p/4t
接下来，三人提问了许多问题，卓越提的最多。
齐次平衡法，让他对解决NLPDE的破解方法的思路又开阔了许多。
并且接下来三天时间，他都在研究齐次平衡法，不懂的就去问胡教授。
胡教授倒是也不恼，有问必答，再说他的时间很多，每天只有一节课，其余时间都在搞科研。
本来来之前卓越还想在津门逛逛的，但三天时间都用在学习上。
学习的时间总是过的很快，不知不觉三天就过去了。
三天后，他们踏上返回杭城的旅程。
这一趟来津门，卓越对新的NLPDE破解方法已经想到方法了。
但还是缺点东西，可是他相信应该很快了。
飞机上！
卓越拿着纸笔，写出许多的公式，拿笔的又手臂放在扶手上，手指抵着下巴，微微皱眉看着纸沉思。
他们乘坐的是商务舱，附近坐的都是成功人士，对于卓越这位年轻帅气，认真的样子有一股独特的魅力，早就吸引空姐们的目光。
不时的有一位漂亮的空姐来询问他需要什么帮助，很是殷勤，更是偷偷的塞来纸条。
“还是年轻好啊！”一旁的杨老师和宗老师对视一眼。
卓越对于这种情况-->>
“齐次平衡法，是解决非线性发展方程的精确解，既在常微分方程的基础上对微分方程的另一种偏微分方程精确解的求法。”
“下面我详细的写出来齐次平衡法的推演步骤！”
他拿起笔在白板上写着。
卓越三人站起身到白板附近，认真的看他写的内容。
已知NLPDE，pu，u67，u66，u6767，u6766，u63，...=0
这里p是其变元多项式，其中包含ux，t的非线性项和它的最高阶导数项，函数φ=φx，t称为的拟解。
……
如果前三步的解答是肯定的，那么将结果代入经过一些计算，就得到的准确解。
他放下笔，看着卓越三人，道：“齐次平衡法有两种情形，一种平衡阶数为负数的情形，另一种是阶数为分数的情形。”
“首先我讲解一下平衡阶数为负数的情形。”
“当m，n中存在负数时不妨设其为负整数情形，我们可以假设m+n>0时
……
我们可以先对原方程做变换u=v^-1将原方程化为关于v的NLPDE。
这时，再利用齐次平衡方法解之。”
“下面，我用实例演算给你们看。”
ut=u056767+pu-u05.1
……
当c 68=1时，将导致负数解，这里略去。
“这就是阶数为负数的平衡法，有什么问题，我们之后再议。”
他看到三人欲言又止，就说道：“下面我说一下阶数为分数的情形。”
“若平衡阶数m，n中有分数不妨设其为正分数情形，我们可以先做变换v=au^1其中1为m的最简分式的分母与n的最简分式的分母的最小公倍数，a为任意常数。
也可直接假设。
这个公式比较复杂，我直接写下来吧！”
ux，t=f^m+nφ58xφ67t/φ586267-m+n+m+n-1∑t=1fm+n-t∑j=1Cm+n-tjφm-jxφn+j-1t/φm+n-m+n-t+Ca.1
写完后，他指着白板上的公式道：“其中x表示取x的整数部分，c0为任意常数。”
“下面我实例演示一下。”
ut+qu05ux+pu6767=0
其中p，q>0
……
得到的精确解为
ux，t=±√3pqk05/r2-pk05tanh05kx+2q/pk05-2t
他呼出一口气，道：“好了，这就是我说的齐次平衡法，你们有什么需要问的吗？”
“请问较低导数的非线性项式怎么转变为较高导数的线性项的，然后又怎么让各阶的系数为零的。”宗老师问道。
“是将.3代入.2，合并φ的各种偏导数同次齐次项，并令φ67xφ0155的系数为零，得
……
φx，t所满足的方程组.9--.10是有解的。”
“那怎么得到k，w的非线性代数方程组？”杨老师问道。
“令φx，t=1+expkx+wt代入.9--.10，得到关于k，w的非线性代数方程组。”
“原方程的准确孤立波解是什么？”卓越问道。
“我写出来给你看。”
ux，t=-6/tanh±√-p/3/4+p/4t
接下来，三人提问了许多问题，卓越提的最多。
齐次平衡法，让他对解决NLPDE的破解方法的思路又开阔了许多。
并且接下来三天时间，他都在研究齐次平衡法，不懂的就去问胡教授。
胡教授倒是也不恼，有问必答，再说他的时间很多，每天只有一节课，其余时间都在搞科研。
本来来之前卓越还想在津门逛逛的，但三天时间都用在学习上。
学习的时间总是过的很快，不知不觉三天就过去了。
三天后，他们踏上返回杭城的旅程。
这一趟来津门，卓越对新的NLPDE破解方法已经想到方法了。
但还是缺点东西，可是他相信应该很快了。
飞机上！
卓越拿着纸笔，写出许多的公式，拿笔的又手臂放在扶手上，手指抵着下巴，微微皱眉看着纸沉思。
他们乘坐的是商务舱，附近坐的都是成功人士，对于卓越这位年轻帅气，认真的样子有一股独特的魅力，早就吸引空姐们的目光。
不时的有一位漂亮的空姐来询问他需要什么帮助，很是殷勤，更是偷偷的塞来纸条。
“还是年轻好啊！”一旁的杨老师和宗老师对视一眼。
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