学霸从数学建模开始第三十六章 长谈(3/3)

道，蒙特卡罗方法是非常好用来做积分的。如果要算一个函数fx在区间［a，b］内的积分，我们可通过计算机利用蒙特卡罗方法来计算出积分近似值。即先估计一个比fx在区间［a，b］内最大值还要大的c，必须保证fx在区间［a，b］不小于0然后不断地在二维矩形区域［a，b］×［0，c］内随机产生随机数对e，f，判断f与fe的大小，并统计f《fe的数量n，当产生点的数量N足够大时，计算出n/N*b-a*c，这就是函数fx在区间［a，b］内的积分值。

    对蒙特卡罗方法的改进：如果要算一个函数fx在区间［a，b］内的积分，令s=0，我们可以在区间［a，b］内产生N个随机数e，赋值：s+=fe/N之所以这样做是为了防止溢出，当N足够大时，计算s*b-a，这就是函数fx在区间［a，b］内的积分值。改进方法的优点：

    1.维度降低，节省一半产生随机数的时间，

    2.相对精度更高，由于蒙特卡罗方法矩形上界需要估计，因此带来了一定的不确定性，估计值取得过大，显著提升计算时间，估计值取得过小，就会出现计算错误。而改进方法不需要估计！

    3.改进方法可以求解蒙特卡罗方法所不能计算的积分，求解范围更大，如果积分函数fx在区间［a，b］内是无界的，或者积分函数fx在区间［a，b］内有负值，蒙特卡罗方法就无法求解。

    蒙特卡罗模拟基本原理及思想

    当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。

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